Inleiding in Matrices

Elk kwartiel nieuwe vakken, nieuwe kansen. Dit maal scheidingstechnologie, patentrecht (deel 2) en lineaire algebra & statistiek. Over de laatste schrijf ik nu iets.

Naar mijn idee is dit het laatste van de “inleidende wiskundevakken”. Ik ben dus redelijk op de hoede voor wat er allemaal gaat komen de volgende zeven weken. Zó erg, dat ik me alvast ingelezen heb. De stof begint met matrices, een soort van vreemde tabellen die het oplossen van lineaire systemen (slechts optellingen van variabelen) vergemakkelijken. Dus aldaar mijn besluit, kijken wat ik er op mezelf van zou bakken.

\[\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}\]

Bovenstaand is een voorbeeld van een typische matrix met afmetingen \(m\times{}n\).

Ik heb natuurlijk wel eerst even de bijstaande tekst in het boek gelezen en deze vertelde mij dat matrices gebruikt kunnen worden voor het makkelijk oplossen van lineaire systemen, zoals genoemd. We nemen het volgende systeem:

\[\begin{align}
x_1+5x_2&=7\\
-2x_1-7x_2&=-5
\end{align}\]

Dit systeem kan in een augmented matrix worden geplaatst waar de eerste 2 rijen zijn voor de coëfficiënten van de variabelen \(x_1\), \(x_2\) en de derde rij voor de constanten rechts van het =-teken. Dit geeft de matrix:

\[\begin{bmatrix}
1 & 5 & 7 \\
-2 & -7 & -5
\end{bmatrix}\]

Het oplossen van de matrix wordt gedaan door een van de coëfficiënten 0 te laten worden zodat er een variabele wegvalt. In dit geval tellen we 2 keer de eerste vergelijking op bij de tweede. Het resultaat wordt de nieuwe tweede vergelijking. (die wordt dan in de matrix ingevuld)

\[\begin{align}
-2 + 2\dot{}1&=0\\
-7 + 2\dot{}5&=3\\
-5 + 2\dot{}7&=9
\end{align}\]

\[\begin{bmatrix}
1 & 5 & 7 \\
0 & 3 & 9
\end{bmatrix}\]

Hier zien we dat er een 0 tussen staat. Als we dus weer de vergelijkingen uitschrijven uit de matrix krijgen we:

\[\begin{align}
x_1+5x_2&=7\\
3x_2&=9
\end{align}\]

Hieruit volgt snel dat \(x_2=\frac{9}{3}=3\) en daarmee ook dat \(x_1=7-5\dot{}3=7-15=-8\). Hiermee heeft het systeem dus de volgende oplossing:

\[\begin{align}
x_1&=-8\\
x_2&=3
\end{align}\]

Enfin, dit is slechts een heel makkelijk voorbeeld van matrices. Waarschijnlijk zal het nog veel moeilijker worden, maar gelukkig snap ik het begin al!

Lat\(e\)r

Tellen met Hanzi / Hanja / Kanji

In tegenstelling tot wat algemeen verwacht wordt van Oost-Aziatische talen, met name Japans, Koreaans en Chinees, is het telsysteem redelijk makkelijk. Onder andere omdat over het algemeen gewoon Arabische cijfers (1, 2, 3, …) worden gebruikt. Maar ook het tellen met de traditionele karakters is niet moeilijk.

http://blog.waygoapp.com/wp-content/uploads/2013/10/Road-signs-38.jpg

In China worden naast karakters ook westerse cijfers gebruikt. Afstanden staan genoemd met nummers als 36, rangtelwoorden als 5e staan er als 五. (Foto: http://blog.waygoapp.com/tag/chinese-ordinal-numbers/)

De Chinese hanzi (漢字, 汉字) zijn de bekende Chinese tekeningen. Deze zijn honderden jaren geleden ook geïntroduceerd in buurlanden Japan (kanji) en Korea (hanja). Alle drie de woorden betekenen letterlijk ‘Chinees karakter’, wat nogmaals de oorsprong verraadt. Met deze tekens is ook het Chinese telsysteem meegebracht. Een kort overzicht van de belangrijkste getallen:

零 0 (ook kan 〇 gebruikt worden)
一 1
二 2
三 3
四 4
五 5
六 6
七 7
八 8
九 9
十 10
百 100
千 1000
萬 10000 (104)

Na deze rij is er na elke stap van 104 (myriaden genoemd) een nieuw karakter, met als laatste het teken 極 voor het getal 1048 en de combinatie 無量大数 voor het getal 1088.

Het schrijven van nummers met dit systeem is niet moeilijk, aangezien het redelijk lijkt op de manier waarop onze nummers worden geconstrueerd. Achteraan komt het tiental waar het getal bij opgeteld moet worden en daarvoor komt dat tiental te staan. Voor het tiental staat dan weer een vermeningvuldigingskarakter, er zijn geen karakters voor getallen als 50, 600 etc. Deze worden letterlijk geschreven als 5×10 en 6×100.

Stel dat we een getal als 1833 willen opschijven. Dit getal bestaat uit 3, 30, 800 en 1000 opgeteld. Voor deze getallen worden dus de karakters achter elkaar geschreven, achteraan de kleinste waarde.

1000 = 千
800 = 8×100 = 八百
30 = 3×10 = 三十
3 = 三

Dit achter elkaar zetten levert het volgende getal op: 千八百三十三.

Meer informatie is te vinden op http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_numerals in het bijzonder.

六十九

Windows Phone 8

Eindelijk was het dan zover. Toch maar de knoop doorgehakt en een nieuwe telefoon gekocht. De Omnia 7 was al redelijk aan het verouderen en dat gecombineerd met het feit dat Windows Phone 7.niet echt een heel bijzondere toekomst tegemoet kan zien, heeft mij deze keuze laten maken. En dan kies je natuurlijk meteen voor het toptoestel.

De Lumia 920 van Nokia

De Lumia 920 van Nokia

Het is een absolute opluchting om dit toestel te gebruiken. Alle applicaties werken weer snel, de camera is wat beter, de batterij houdt het weer een dag uit en natuurlijk een nieuw OS.

Het Bing-lockscreen, waar niet zo veel is veranderd.

Het Bing-lockscreen, waar niet zo veel is veranderd.

Een nieuw OS brengt nieuwe mogelijkheden met zich mee, daaronder de mogelijkheid om programma’s te schrijven in C++. Dat maakt dat programma’s voor de pc makkelijker kunnen worden overgezet, zoals het bekende Visual Boy Advance.

VBA8

VBA8

Deze applicaties zijn natuurlijk pas net nieuw, maar ik verwacht dat ze uiteindelijk volwaardig worden. En apps die al volwaardig zijn, zijn o.a. die van Nokia zelf. Hieronder HERE Maps, een kaartenapplicatie waarmee je vooraf kaarten kan downloaden voor het geval je de dataverbinding verliest.

De kaart in de buurt van ✈ Teuge

De kaart in de buurt van ✈ Teuge

Zeer handig.

En dan nog even wat voorbeelden van foto’s gemaakt met de Lumia 920:

Donker met flits aan

Donker met flits aan

Overdag

Overdag

Ik concludeer dat ik met de Lumia 920 nog minstens één jaar vooruit kan. Goed nieuws dus!

Tweede-orde differentiaalvergelijkingen

We gaan de oplossing zoeken voor de volgende differentiaalvergelijking:

\[y''+y'-2y=e^{-x}\]

In Leibniz notatie ook wel \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}-2y(x)=e^{-x}\). Eerst wordt het homogene deel \(y_{\textrm{hom}}\) bepaald door de differentiaalvergelijking gelijk te stellen aan 0.

\[y''+y'-2y=0\]

Hiermee kan een hulpvergelijking \(r^{2}+r-2=0\) worden opgesteld, deze heeft oplossingen voor \(r=1\) en \(r=-2\). Dit leidt tot \(y_{\textrm{hom}}=Ae^{x}+Be^{-2x}\). Vervolgens moet het particuliere deel \(y_{\textrm{part}}\) worden bepaald. We gokken dat dit \(e^{-x}\) is.

\[\begin{matrix} f & e^{-x} \\ f' & -e^{-x} \\ f'' & e^{-x} \end{matrix}\]

Dit invullen in de differentiaalvergelijking \(y”+y’-2y\) geeft \(e^{-x}+\left(-e^{-x}\right)-2e^{-x}=-2e^{-x}\). Dit is een factor \(-\frac{1}{2}\) verschil met wat werd gegokt dus dat geeft \(y_{\textrm{part}}=-\frac{1}{2}e^{-x}\). Voor de volledige oplossing worden dan de homogene en partiele delen bij elkaar opgeteld en dat geeft:

\[y=Ae^{x}+Be^{-2x}-\frac{1}{2}e^{-x}\]

Bedankt voor het lezen.\[\textrm{Houdoe.}\]

Het nut van Maxwellrelaties

\[\begin{align*}+\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S &=& -\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_V &=& \frac{\partial^2 U }{\partial S \partial V}\\+\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_S &=&+\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_P &=& \frac{\partial^2 H }{\partial S \partial P}\\+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T &=& +\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V &=& -\frac{\partial^2 A }{\partial T \partial V}\\-\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T &=& +\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P &=& \frac{\partial^2 G }{\partial T \partial P}
\end{align*}\]Met dank aan Wikipedia voor dit overzicht van Maxwellrelaties

Maxwellrelaties zijn handig om mathematische relaties te koppelen aan meetbare grootheden als \(\alpha{}\) en \(\kappa{}_{T}\). Soms is er ook nog de min-één-regel nodig.

 

Wiskunde in Pokémon: experience

Slateport CityDe Pokémonverslaving is weer terug en om dat te vieren schrijf ik maar een stukje over de wiskunde die wordt gebruikt in de spellen. Het is niet bizar veel, maar ik vind dat het wel eens onder de aandacht gebracht mag worden. In veel onderdelen van het spel worden berekeningen gebruikt maar die voor het verband tussen het aantal behaalde experience points en het level vind ik zelf nog wel het leukst.

In de eerste twee generaties werd dit verband in het spel zelf berekend met een viertal vergelijkingen, allen derdegraads functies. Voor de ‘medium fast’ groep is deze functie \(\mathcal{X}_{\textrm{m}}=n^{3}\). In deze berekening is \(n\) het level en het is duidelijk dat deze groep in totaal 1000000 (= 1003) experience points \(\mathcal{X}\) nodig heeft om level 100 te bereiken. Dan zijn er ook nog ‘fast’ (factor \(\frac{4}{5}\)) en ‘slow’ (factor \(\frac{5}{4}\)) die gebaseerd zijn op dezelfde functie. Dit werkte allemaal prima voor die tijd.

De vierde functie (‘medium slow’) veroorzaakte echter wat problemen. Deze functie ziet er niet heel moeilijk uit en dat was ook niet wat de fouten veroorzaakte.\[\mathcal{X}_{\textrm{ms}}=\frac{6}{5}n^{3}-15n^{2}+100n-140\]Het buigpunt van deze functie ligt wat ongelukkig wat enkele fouten in deze berekening naar boven liet komen. We berekenen het volgende:\[\frac{d^{2}\mathcal{X}_{\textrm{ms}}}{dn^{2}}=\frac{d^{2}(\frac{6}{5}n^{3}-15n^{2}+100n-140)}{dn^{2}}=0\]Dit geeft als oplossing \(n=\frac{25}{6}=4.1667\). Dat betekende dat als je een ‘medium slow’ pokémon had van onder level 5, in deze spellen nog niet mogelijk, dat deze bij het behalen van experience points naar een negatief getal zou schieten. Door de architectuur van het spel wordt dit dan veranderd in een heel groot getal waardoor de pokémon direct naar level 100 springt.

Vanaf de derde generatie spellen op de Game Boy Advance heeft Game Freak dit anders aangepakt. In plaats van de berekeningen ter plaatse maken heeft het spel nu een tabel waarin het de waarden van \(n\) kan opzoeken voor de \(\mathcal{X}\) van een pokémon. Tijdens deze verandering zijn er twee nieuwe experience groepen bij gekomen en omdat het spel zelf niks meer hoefde te berekenen zijn dit ingewikkeldere functies dan voorheen. Zo heeft de ‘erratic’ groep een stuksgewijs gedefinieerde functie:

\[\begin{align*}\mathcal{X}_{\textrm{e}}&=\left\{\begin{matrix}\frac{n^{3}(100-n)}{50} & n\leq{}50 \\ \frac{n^{3}(150-n)}{100} & 50\leq{}n\leq{}68 \\ \frac{n^{3}\left\lfloor{}\frac{1911-10n}{3}\right\rfloor{}}{500} & 68\leq{}n\leq{}98 \\ \frac{n^{3}(160-n)}{100} & 98\leq{}n\leq{}100 \end{matrix}\right. \\ \lfloor{}n\rfloor{}&=\textrm{floor}(n)\end{align*}\]Deze verzameling functies wordt erratic, grillig, genoemd omdat deze niet volgens een logisch verband verlopen. Zo is er meer experience nodig om van level 69 naar 70 te gaan dan dat er nodig is om van 99 naar 100 te gaan. Dit klinkt niet heel logisch.

Hieronder het aantal experience dat behaald moet zijn om op een bepaald level te geraken in grafiek gezet voor de ‘medium slow’ experience groep.

Medium slow

\(\mathcal{X}_{\textrm{ms}}(n)=\frac{6}{5}n^{3}-15n^{2}+100n-140\). Y-as is het aantal experience punten, x-as is het level.

Tot zover dit artikel over een deel van de werking van experience binnen de Pokémon spellen.

Tot de volgende keer,

\(2p_{z}\)-orbitalen

Gisteren was dus de tussentoets van chemische binding. Ik stapte erin met niet al te veel vrees natuurlijk, want het vak ligt me redelijk goed. En zo gebeurde dat dus ook bij de eerste twee opgaves. De eerste opgave was het tekenen van enkele Lewis-structuren en daarbij het voorspellen van de vorm van de moleculen volgens de VSEPR-theorie. Allemaal niet zo moeilijk.

De tweede opgave leek een klassieke vwo natuurkundeopdracht over het foto-elektrisch effect van Einstein. Dit was het invullen van enkele simpele formules en bleek geen hinder te zijn.

De derde opgave is echter waar het allemaal een beetje strandde… Ooit tijdens het college was er een dia voorbijgeschoten met een hoop wiskundige vergelijkingen erop die bij de elektronenorbitalen horen. Zo stonden er onder andere de volgende drie sommen op:\[\begin{align*}\Psi{}_{\textrm{n,l,m}}(r,\theta{},\phi{})&=R_{\textrm{n,l}}(r)Y_{\textrm{l,m}}(\theta{},\phi{}) \\ \rho{}&=\frac{Zr}{a_{0}} \\ R_{2,1}(\rho{})&=\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\left(\frac{Z}{2a_{0}}\right)^3}\rho{}e^{-\frac{\rho{}}{2}}\end{align*}\]Ja, daar kijk je dan naar en bedenkt dat “je dat vast toch niet hoeft te kennen”. Fout dus. Het proberen op te lossen van de opgave is eigenlijk nergens op uitgelopen, ik deed een beetje dit en ik deed een beetje dat en kwam op 1,6 Å uit. Zal wel compleet fout zijn.

\(\textrm{Tot het volgende verhaal,}\) doeidoei

Thermodynamica: tja

Eén van de vakken in dit blok is thermodynamica, welke samen met Chemische Binding 5 ECTS oplevert. En thermodynamica is veel moeilijker dan de naam doet vermoeden.

Het is natuurlijk veel natuurkunde maar dat is dan ook wel te verwachten. Zo komt de vergelijking voor de volumearbeid vaak terug.\[w=-\int p_{\textrm{ex}}~dV\]Sommen als deze zijn makkelijk op te lossen, vooral voor bepaalde specifieke gevallen. Bijvoorbeeld als het proces reversibel is, dan \(p_{\textrm{ex}}=p_{\textrm{in}}=\frac{nRT}{V}\) en die kan gewoon geïntegreerd worden. Of als dit proces plaatsvindt in een vacuüm (\(p_{\textrm{ex}}=0\)), dan is \(w\) ook 0.

De rare sommen komen als verbanden worden weergegeven als partiele differentiaalvergelijkingen zonder een echte vergelijking te geven. Zo is er de min-een-regel:\[\left({\partial{}V \over{} \partial{}p}\right)_{T} \dot{}\left({\partial{}p \over{} \partial{}T}\right)_{V} \dot{}\left({\partial{}T \over{} \partial{}V}\right)_{p}=-1\]Ik hoop dat het begrijpen hiervan vanzelf nog wel zal komen.

En natuurlijk niet te vergeten: het uitrekenen van reactie-enthalpieën (\(\Delta{}_{r}H^{\ominus{}}\)).

Tot later!